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[资料] 深入浅出HALCON几何变换

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    [LV.9]以坛为家II

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    发表于 2018-10-26 13:51:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

    51Halcon诚邀您的加入,专注于机器视觉开发与应用技术,我们一直都在努力!

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    在机器视觉系统中,镜头是重要成像部件之一,而基于小孔成像原理的工业镜头往往会产生透视畸变现象,如何校正畸变是进行图像分析的前提 ,这其中就会用到投影变换,也是几何变换的一种。除此之外,图像处理中常用到的平移、旋转、缩放等,也属于几何变换。本文将通过实例详细介绍HALCON中的几何变换。
    基础知识

    齐次坐标(Homogenous Coordinate)

    齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如二维点p(x,y)àp(x,y, w)就成了齐次坐标,同理三维点p(x,y,z)àp(x,y,z, w)也成了齐次坐标。显然,齐次坐标的表达并不是唯一的,随w值的不同而不同。在计算机图学中,w 作为通用比例因子,它可取任意正值,但一般在几何变换中,总是取w=1。齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易于进行几何变换。

    以点p(x,y)为例,如果想把它平移至p(x+a,y+b),是不可能用矩阵计算完成的,现在换成齐次坐标(x,y,1),通过矩阵相乘(左侧公式) ,很方便得到平移后的坐标(x+a,y+b)。通常把变换矩阵写到左侧,为了保持一致把变换矩阵改成右下角形式,这就是齐次变换矩阵。
    1.jpg

    齐次变换矩阵

    在同一变换矩阵中既表示姿态(旋转、缩放等)又表示位置(平移),这种形式的矩阵称为齐次变换矩阵。如下:
    2.jpg
    齐次坐标的使用,使得几何变换更容易计算,尤其对于仿射变换(二维/三维)更加方便,由于图形硬件、视觉算法已经普遍支持齐次坐标与矩阵乘法,因此更加促进了齐次坐标使用,使得它成为图形学中的一个标准,下面提到的几何变换(仿射变换)都以齐次坐标和齐次变换矩阵为基础。

    几何变换

    几何变换包括:
    相似变换(Similarity Transformation)
    仿射变换(Affine Transformation)
    投影变换(Projective Transformation)

    注:线性变换不包含平移,所以没有归入几何变换,总之HALCON中常用几何变换是仿射和投影变换,而相似变换是仿射变换的一种简单情况!相似变换、仿射变换、投影变换既可以发生在二维空间内也可发生在三维空间内。

    相似变换

    相似变换的定义:由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形,在改变的过程中保持形状不变(大小方向和位置可变),任何相似变换都可以分解为等比例缩放、平移、旋转的组合,例如,对于缩放,用齐次变换矩阵可以如下表示(二维和三维),其中a≠0。
    3.jpg

    仿射变换

    仿射变换的定义:由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形,在改变的过程中保持直线和平行线不变(平行线映射为平行线),任何仿射变换都可以分解为缩放、平移、旋转和切变(Shearing)的组合,对于仿射变换,齐次变换矩阵如下表示(二维和三维):
    4.jpg
    对于仿射变换,有两个比较特殊的变换:非等比例缩放和切变(如下图),除了这两个特殊的变换之外,相似变换可以看做是仿射变换的特殊形式,注:线性变换包括旋转、缩放、切变,但不包含平移,因此仿射变换也定义为一个线性变换再加上一个平移变换。
    5.jpg

    投影变换

    投影变换的定义:变换过程中,直线映射为直线(但不一定保证平行度),任何二维投影变换都可以用3x3可逆矩阵表示,而任何三维投影变换都可以用4x4可逆矩阵表示。如下:
    6.jpg
    从定义来看,仿射变换可以看做是投影变换的特殊形式。另外,把投影变换矩阵的最后一行变为[0,0,1]或者[0,0,0,1],即可变为仿射变换矩阵,也可以证明仿射变换是投影变换的特殊形式。因此,对于平移、缩放、切变等,仿射变换和投影变换都可以实现。

    如下例子,把左图进行旋转操作变成右图,可以用仿射变换和投影变换两种方式实现。
    7.jpg
    • 仿射变换实现方法
    8.jpg
    • 投影变换实现方法之一(直接用给定点生成投影变换矩阵)
    9.jpg
    • 投影变换实现方法之二
    (用三维仿射变换矩阵生成投影变换矩阵)
    10.jpg
    注:对于旋转来说,也可以看做是相机沿Z轴旋转90度后的成像效果,因此也可以用三维仿射变换,先转换相机坐标系,再生成投影变换矩阵!
    旋转示例中的仿射变换矩阵(也是齐次变换矩阵)

    11.jpg
    旋转示例中的投影变换矩阵(3X3),也是可逆矩阵
    12.jpg
    同理,缩放、切变等,仿射变换和投影变换也都可以实现,但如下变换,只能用二维投影变换矩阵实现,因为变换过程中没有保证线的平行性。
    13.jpg

    总结

    HALCON中所用的变换知识只涉及到了二维、三维仿射变换和二维投影变换,二维仿射变换多用于平面图像的平移、旋转、缩放等;三维仿射变换多用于三维坐标系的平移、旋转等(或者用3D位姿表示),而二维投影变换多用于校正透视畸变,也就是三维空间的景象如何投影到相机靶面上的效果,如果相机和被测平面不垂直就会有畸变。

    在成像过程中,普通工业镜头(小孔成像原理)都会带来透视畸变,也就是常见的近大远小现象,除非相机和被测平面保持绝对垂直,否则透视畸变是不可避免的。因此,通过三维空间的仿射变换(变换坐标系,使相机不垂直于被摄平面),可以产生透视畸变效果,也就是相当于进行了投影变换,HALCON也提供了算子hom_mat3d_project,能直接把三维仿射变换矩阵转换成二维投影变换矩阵(4x4的矩阵转换成3x3矩阵)。下面我们通过一个例子来说明一下。
    14.jpg
    首先生成单位矩阵,进行一系列的旋转变换,产生三维仿射变换矩阵,也就是使得相机和被摄平面不垂于!

    把三维仿射变换矩阵再转化成二维投影变换矩阵
    15.jpg
    进行投影变换,也就是我们看到的右侧的效果
    16.jpg
    另外一种方法是,直接使用给定点生成投影变换矩阵,可以得到同样的效果
    17.jpg
    上面的这个例子是很好的说明了透视畸变现象如何产生的,左侧图是相机垂直于被摄平面,没有透视变形现象。然后进行了一系列的三维仿射变换,产生的效果就是相机不再垂直于被摄面,所以右图产生了透视畸变现象,那么从左图到右图恰恰是进行了一次二维投影变换。因为投影变换矩阵是可逆的,所以也可以把右图校正为左图,这恰恰是HALCON中投影变换的用处所在!
    18.jpg
    以下例子也是HALCON中典型的畸变校正示例,使用的正是投影变换。
    19.jpg

    附录

    解释一下HALCON中的:
    hom_mat2d_*和hom_mat3d_*算子

    hom_mat2d_identity产生2x3矩阵,用于描述二维变换,实际上是3x3齐次变换矩阵(仿射变换);
    hom_mat3d_identity产生3x4矩阵,用于描述三维变换,实际上是4x4齐次变换矩阵(仿射变换);
    hom_mat2d_*既支持2x3矩阵(仿射变换)也支持3x3矩阵(投影变换);
    hom_mat3d_*支持3x4矩阵(仿射变换),也就是4x4齐次变换矩阵

    关于如何在HALCON中生成的:
    仿射变换矩阵和投影变换矩阵

    仿射变换矩阵
    用hom_mat2d_identity或hom_mat3d_identity产生单位矩阵,然后经过平移、旋转、缩放等操作后得到仿射变换矩阵。

    投影变换矩阵
    hom_mat3d_project能直接把三维仿射变换矩阵转换成投影变换矩阵,如果知道空间坐标系是如何变换的,可以用这种方法;
    hom_vector_to_proj_hom_mat2d用给定点生成投影变换矩阵,输入点的坐标为三维齐次坐标,可以支持无穷远点和有限远点的变换;
    vector_to_proj_hom_mat2d用给定点生成投影变换矩阵,输入点为二维非齐次坐标,支持有限远的点的变换;

    注:对于涉及有限远点的变换,以上两个算子都可以!

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