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OpenGL中用到的数学变换理论之矩阵

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发表于 2020-6-9 10:52:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
矩阵
现在我们已经讨论了向量的全部内容,是时候看看矩阵了!简单来说矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。下面是一个2×3矩阵的例子:

矩阵可以通过(i, j)进行索引,i是行,j是列,这就是上面的矩阵叫做2×3矩阵的原因(3列2行,也叫做矩阵的维度(Dimension))。这与你在索引2D图像时的(x, y)相反,获取4的索引是(2, 1)(第二行,第一列)(译注:如果是图像索引应该是(1, 2),先算列,再算行)。

矩阵基本也就是这些了,它就是一个矩形的数学表达式阵列。和向量一样,矩阵也有非常漂亮的数学属性。矩阵有几个运算,分别是:矩阵加法、减法和乘法。

矩阵的加减
矩阵与标量之间的加减定义如下:

标量值要加到矩阵的每一个元素上。矩阵与标量的减法也相似:
译注
注意,数学上是没有矩阵与标量相加减的运算的,但是很多线性代数的库都对它有支持(比如说我们用的GLM)。如果你使用过numpy的话,可以把它理解为Broadcasting。

矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算,所以总体的规则和与标量运算是差不多的,只不过在相同索引下的元素才能进行运算。这也就是说加法和减法只对同维度的矩阵才是有定义的。一个3×2矩阵和一个2×3矩阵(或一个3×3矩阵与4×4矩阵)是不能进行加减的。我们看看两个2×2矩阵是怎样相加的:

同样的法则也适用于减法:
矩阵的数乘
和矩阵与标量的加减一样,矩阵与标量之间的乘法也是矩阵的每一个元素分别乘以该标量。下面的例子展示了乘法的过程:

现在我们也就能明白为什么这些单独的数字要叫做标量(Scalar)了。简单来说,标量就是用它的值缩放(Scale)矩阵的所有元素(译注:注意Scalar是由Scale + -ar演变过来的)。前面那个例子中,所有的元素都被放大了2倍。

到目前为止都还好,我们的例子都不复杂。不过矩阵与矩阵的乘法就不一样了。

矩阵相乘
矩阵之间的乘法不见得有多复杂,但的确很难让人适应。矩阵乘法基本上意味着遵照规定好的法则进行相乘。当然,相乘还有一些限制:

只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等,两个矩阵才能相乘。
矩阵相乘不遵守交换律(Commutative),也就是说。
我们先看一个两个2×2矩阵相乘的例子:

现在你可能会在想了:天哪,刚刚到底发生了什么? 矩阵的乘法是一系列乘法和加法组合的结果,它使用到了左侧矩阵的行和右侧矩阵的列。我们可以看下面的图片:
matrix_multiplication.png
我们首先把左侧矩阵的行和右侧矩阵的列拿出来。这些挑出来行和列将决定我们该计算结果2x2矩阵的哪个输出值。如果取的是左矩阵的第一行,输出值就会出现在结果矩阵的第一行。接下来再取一列,如果我们取的是右矩阵的第一列,最终值则会出现在结果矩阵的第一列。这正是红框里的情况。如果想计算结果矩阵右下角的值,我们要用第一个矩阵的第二行和第二个矩阵的第二列(译注:简单来说就是结果矩阵的元素的行取决于第一个矩阵,列取决于第二个矩阵)。

计算一项的结果值的方式是先计算左侧矩阵对应行和右侧矩阵对应列的第一个元素之积,然后是第二个,第三个,第四个等等,然后把所有的乘积相加,这就是结果了。现在我们就能解释为什么左侧矩阵的列数必须和右侧矩阵的行数相等了,如果不相等这一步的运算就无法完成了!

结果矩阵的维度是(n, m),n等于左侧矩阵的行数,m等于右侧矩阵的列数。

如果在脑子里想象出这一乘法有些困难,别担心。不断地动手计算,如果遇到困难再回头看这页的内容。随着时间流逝,矩阵乘法对你来说会变成很自然的事。

我们用一个更大的例子来结束对矩阵相乘的讨论。试着使用颜色来寻找规律。作为一个有用的练习,你可以试着自己解答一下这个乘法问题,再将你的结果和图中的这个进行对比(如果用笔计算,你很快就能掌握它们)。

可以看到,矩阵相乘非常繁琐而容易出错(这也是我们通常让计算机做这件事的原因),而且当矩阵变大以后很快就会出现问题。如果你仍然希望了解更多,或对矩阵的数学性质感到好奇,我强烈推荐你看看可汗学院的矩阵教程。

不管怎样,现在我们知道如何进行矩阵相乘了,我们可以开始学习好东西了。
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发表于 2020-6-9 11:20:35 | 显示全部楼层
矩阵与向量相乘
目前为止,通过这些教程我们已经相当了解向量了。我们用向量来表示位置,表示颜色,甚至是纹理坐标。让我们更深入了解一下向量,它其实就是一个N×1矩阵,N表示向量分量的个数(也叫N维(N-dimensional)向量)。如果你仔细思考一下就会明白。向量和矩阵一样都是一个数字序列,但它只有1列。那么,这个新的定义对我们有什么帮助呢?如果我们有一个M×N矩阵,我们可以用这个矩阵乘以我们的N×1向量,因为这个矩阵的列数等于向量的行数,所以它们就能相乘。

但是为什么我们会关心矩阵能否乘以一个向量?好吧,正巧,很多有趣的2D/3D变换都可以放在一个矩阵中,用这个矩阵乘以我们的向量将变换(Transform)这个向量。如果你仍然有些困惑,我们来看一些例子,你很快就能明白了。

单位矩阵
在OpenGL中,由于某些原因我们通常使用4×4的变换矩阵,而其中最重要的原因就是大部分的向量都是4分量的。我们能想到的最简单的变换矩阵就是单位矩阵(Identity Matrix)。单位矩阵是一个除了对角线以外都是0的N×N矩阵。在下式中可以看到,这种变换矩阵使一个向量完全不变:

向量看起来完全没变。从乘法法则来看就很容易理解来:第一个结果元素是矩阵的第一行的每个元素乘以向量的每个对应元素。因为每行的元素除了第一个都是0,可得:,向量的其他3个元素同理。
你可能会奇怪一个没变换的变换矩阵有什么用?单位矩阵通常是生成其他变换矩阵的起点,如果我们深挖线性代数,这还是一个对证明定理、解线性方程非常有用的矩阵。


缩放
对一个向量进行缩放(Scaling)就是对向量的长度进行缩放,而保持它的方向不变。由于我们进行的是2维或3维操作,我们可以分别定义一个有2或3个缩放变量的向量,每个变量缩放一个轴(x、y或z)。

我们先来尝试缩放向量。我们可以把向量沿着x轴缩放0.5,使它的宽度缩小为原来的二分之一;我们将沿着y轴把向量的高度缩放为原来的两倍。我们看看把向量缩放(0.5, 2)倍所获得的是什么样的:
vectors_scale.png
记住,OpenGL通常是在3D空间进行操作的,对于2D的情况我们可以把z轴缩放1倍,这样z轴的值就不变了。我们刚刚的缩放操作是不均匀(Non-uniform)缩放,因为每个轴的缩放因子(Scaling Factor)都不一样。如果每个轴的缩放因子都一样那么就叫均匀缩放(Uniform Scale)。

我们下面会构造一个变换矩阵来为我们提供缩放功能。我们从单位矩阵了解到,每个对角线元素会分别与向量的对应元素相乘。如果我们把1变为3会怎样?这样子的话,我们就把向量的每个元素乘以3了,这事实上就把向量缩放3倍。如果我们把缩放变量表示为我们可以为任意向量定义一个缩放矩阵:

注意,第四个缩放向量仍然是1,因为在3D空间中缩放w分量是无意义的。w分量另有其他用途,在后面我们会看到。

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发表于 2020-6-9 11:26:54 | 显示全部楼层
位移
位移(Translation)是在原始向量的基础上加上另一个向量从而获得一个在不同位置的新向量的过程,从而在位移向量基础上移动了原始向量。我们已经讨论了向量加法,所以这应该不会太陌生。

和缩放矩阵一样,在4×4矩阵上有几个特别的位置用来执行特定的操作,对于位移来说它们是第四列最上面的3个值。如果我们把位移向量表示为,我们就能把位移矩阵定义为:

这样是能工作的,因为所有的位移值都要乘以向量的w行,所以位移值会加到向量的原始值上(想想矩阵乘法法则)。而如果你用3x3矩阵我们的位移值就没地方放也没地方乘了,所以是不行的。
齐次坐标(Homogeneous Coordinates)

向量的w分量也叫齐次坐标。想要从齐次向量得到3D向量,我们可以把x、y和z坐标分别除以w坐标。我们通常不会注意这个问题,因为w分量通常是1.0。使用齐次坐标有几点好处:它允许我们在3D向量上进行位移(如果没有w分量我们是不能位移向量的),而且下一章我们会用w值创建3D视觉效果。

如果一个向量的齐次坐标是0,这个坐标就是方向向量(Direction Vector),因为w坐标是0,这个向量就不能位移(译注:这也就是我们说的不能位移一个方向)。

有了位移矩阵我们就可以在3个方向(x、y、z)上移动物体,它是我们的变换工具箱中非常有用的一个变换矩阵。
旋转
上面几个的变换内容相对容易理解,在2D或3D空间中也容易表示出来,但旋转(Rotation)稍复杂些。如果你想知道旋转矩阵是如何构造出来的,我推荐你去看可汗学院线性代数的视频。

首先我们来定义一个向量的旋转到底是什么。2D或3D空间中的旋转用角(Angle)来表示。角可以是角度制或弧度制的,周角是360角度或2 PI弧度。我个人更喜欢用角度,因为它们看起来更直观。
大多数旋转函数需要用弧度制的角,但幸运的是角度制的角也可以很容易地转化为弧度制的:

弧度转角度:角度 = 弧度 * (180.0f / PI)
角度转弧度:弧度 = 角度 * (PI / 180.0f)
PI约等于3.14159265359。

转半圈会旋转360/2 = 180度,向右旋转1/5圈表示向右旋转360/5 = 72度。下图中展示的2D向量是由向右旋转72度所得的:
vectors_angle.png
在3D空间中旋转需要定义一个角和一个旋转轴(Rotation Axis)。物体会沿着给定的旋转轴旋转特定角度。如果你想要更形象化的感受,可以试试向下看着一个特定的旋转轴,同时将你的头部旋转一定角度。当2D向量在3D空间中旋转时,我们把旋转轴设为z轴(尝试想象这种情况)。

使用三角学,给定一个角度,可以把一个向量变换为一个经过旋转的新向量。这通常是使用一系列正弦和余弦函数(一般简称sin和cos)各种巧妙的组合得到的。当然,讨论如何生成变换矩阵超出了这个教程的范围。

旋转矩阵在3D空间中每个单位轴都有不同定义,旋转角度用表示:

沿x轴旋转:

沿y轴旋转:

沿z轴旋转:

利用旋转矩阵我们可以把任意位置向量沿一个单位旋转轴进行旋转。也可以将多个矩阵复合,比如先沿着x轴旋转再沿着y轴旋转。但是这会很快导致一个问题——万向节死锁(Gimbal Lock,可以看看这个视频(优酷)来了解)。在这里我们不会讨论它的细节,但是对于3D空间中的旋转,一个更好的模型是沿着任意的一个轴,比如单位向量$(0.662, 0.2, 0.7222)$旋转,而不是对一系列旋转矩阵进行复合。这样的一个(超级麻烦的)矩阵是存在的,见下面这个公式,其中代表任意旋转轴:

在数学上讨论如何生成这样的矩阵仍然超出了本节内容。但是记住,即使这样一个矩阵也不能完全解决万向节死锁问题(尽管会极大地避免)。避免万向节死锁的真正解决方案是使用四元数(Quaternion),它不仅更安全,而且计算会更有效率。四元数可能会在后面的教程中讨论。
译注

对四元数的理解会用到非常多的数学知识。如果你想了解四元数与3D旋转之间的关系,可以来阅读我的教程。如果你对万向节死锁的概念仍不是那么清楚,可以来阅读我教程的Bonus章节。

现在3Blue1Brown也已经开始了一个四元数的视频系列,他采用球极平面投影(Stereographic Projection)的方式将四元数投影到3D空间,同样有助于理解四元数的概念(仍在更新中):https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg

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发表于 2020-6-9 11:27:46 | 显示全部楼层
矩阵的组合
使用矩阵进行变换的真正力量在于,根据矩阵之间的乘法,我们可以把多个变换组合到一个矩阵中。让我们看看我们是否能生成一个变换矩阵,让它组合多个变换。假设我们有一个顶点(x, y, z),我们希望将其缩放2倍,然后位移(1, 2, 3)个单位。我们需要一个位移和缩放矩阵来完成这些变换。结果的变换矩阵看起来像这样:

注意,当矩阵相乘时我们先写位移再写缩放变换的。矩阵乘法是不遵守交换律的,这意味着它们的顺序很重要。当矩阵相乘时,在最右边的矩阵是第一个与向量相乘的,所以你应该从右向左读这个乘法。建议您在组合矩阵时,先进行缩放操作,然后是旋转,最后才是位移,否则它们会(消极地)互相影响。比如,如果你先位移再缩放,位移的向量也会同样被缩放(译注:比如向某方向移动2米,2米也许会被缩放成1米)!

用最终的变换矩阵左乘我们的向量会得到以下结果:

不错!向量先缩放2倍,然后位移了(1, 2, 3)个单位。

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